Riuscite ad immaginare un treno che sia superiore a qualunque treno mai costruito, in grado di viaggiare esclusivamente in tunnel scavati all’interno della terra così da non occupare ne deturpare alcuna parte della superficie terrestre, che sia altresì capace di collegare due qualunque località della terra ad una velocità superiore a quella dei più veloci aerei di linea e soprattutto consumando una piccolissima quantità di energia?
No, vero? Eppure, per la fisica un siffatto treno sarebbe possibile.
Immaginiamo di poter scavare un tunnel attraverso la terra lungo la corda AB, vedi figura.
Poniamo R (6370 Km) il raggio della terra e C il suo centro e fissiamo uguale a 2a la lunghezza del tunnel.
Dalla teoria della gravità sappiamo che ogni corpo di massa m che si trova all’interno della terra viene attratto verso il suo centro da una forza F direttamente proporzionale alla distanza r dal centro stesso.
Tenendo presente che per r = R, ovvero sulla superficie della terra, la forza F sarebbe uguale a F = mg si ottiene che all’interno della terra:
$$ F = \frac{mgr}{R} $$
Dove MC è la distanza dal punto M, dove si trova il corpo di massa m, al centro della terra C. Scegliamo un sistema di riferimento con l’origine O nel punto di mezzo della corda AB e l’asse Ox diretta lungo la retta OA.
Considerato che la lunghezza del tunnel vale 2a ed è uguale alla lunghezza della corda AB, possiamo porre le condizioni iniziali come:
$$ t=0, v=0, X=a $$
In qualunque altra posizione la massa m sarà soggetta alla forza Fx che altro non è che la proiezione della forza di gravità sull’asse delle x.
$$F_{ x } = -F cos(\alpha) = – \frac{mgr cos(α)}{R} = – \frac{mgx}{R}$$
Essendo x = r cos(α)
Per risolvere il problema del moto della massa m all’interno del tunnel si ricorre ad una delle equazioni fondamentali della dinamica come la:
$$ mv_{x}\frac{dv_{x}}{dx} = F_{x}$$
Dopo aver diviso per m e posto k = g/R
Omettiamo i vari calcoli lasciando ai curiosi l’intero procedimento nell’appendice allegata e diciamo che la legge del moto della massa m all’interno del tunnel va scritta come:
$$x = a cos(kt)$$
dalla quale risulta che m effettua nel tunnel AB oscillazioni armoniche di ampiezza a.
Sappiamo che il punto B ha coordinata x = -a
Quindi sostituendo questo valore nell’equazione del moto otteniamo:
$$ cos(kt) = -1 \;da\:cui\; kt = \pi \;e\; t = \frac{\pi}{k}$$
In base alla notazione introdotta
$$ k = \sqrt{\frac{g}{R}}$$
Segue che il tempo impiegato a percorrere il tunnel AB, in base alle condizioni del problema, non dipende dalla sua lunghezza ed è sempre uguale a:
$$ t = \pi \sqrt{\frac{g}{R}} \approx 42\: min\: e\: 11\: sec$$
Mentre la velocità massima a cui può arrivare la massa m in movimento all’interno del tunnel si raggiunge nel punto x = O
Detta velocità vale:
$$v_{max} = ka = a \sqrt{\frac{g}{R}}$$
dalla quale diventa evidente come la velocità massima dipenda dalla lunghezza del tunnel.
Ad esempio, se la lunghezza del tunnel fosse uguale ad un decimo del raggio terrestre, ovvero 0,1 R = 637 Km, allora la velocità massima acquisterebbe il valore:
Vmax = 395 m/s = 1422 km/h
Immaginiamo ora di poter scavare un tunnel abbastanza grande da poter sostituire la massa m con il nostro ipertreno. Un treno speciale a levitazione magnetica (Maglev) e che viaggia nel tunnel in cui è stato fatto il vuoto così da rendere l’attrito al valore minimo possibile. Progettiamo il sistema motore in modo tale da rendere la velocità del treno il più possibile costante assorbendo energia nei tratti in cui il treno accelera, quando si muove da x = a, sino ad x = O, per restituirla in quelli in cui decelera, quando si muove da x = O a x = -a.
Per le dimensioni del tunnel ci si basa su quanto segue:
Fissata la distanza fra due località della superficie terrestre si ha un arco di cerchio massimo (ortodromia), vedi figura:
La lunghezza del tunnel L (= 2a) verrebbe a dipendere dalla lunghezza dell’arco come anche da essa la profondità massima h del tunnel rispetto alla superficie terrestre, vedi figura:
Posta AB la lunghezza dell’arco si ha che:
α = AB/R
E quindi L = 2R sen(α/2)
E ancora h = R – R cos(α/2)
Ad esempio immaginiamo per il nostro ipertreno una tratta come quella che potrebbe portare da Milano a Boston vedi figura:
Preso il raggio della terra uguale a 6370 Km e la lunghezza dell’arco AB uguale a 6153 Km ne viene, facendo i calcoli:
L = 5916 Km (lunghezza del tunnel)
h = 729 Km (profondità massima del tunnel)
t = 42 minuti e 11 secondi (tempo di percorrenza, in assenza di correzioni)
Vmax = 3.669 m/s ovvero 13.208 Km/h (velocità massima, in assenza di correzioni)
Veramente incredibile, con treni di questo tipo si potrebbero raggiungere quasi tutte le località del mondo in tempi brevissimi, gli esseri umani sarebbero più vicini, il signor Pinco potrebbe andare a trovare la zia Pallina residente all’altro capo del mondo in poco più di cinquanta minuti e tornare a casa per la cena. La terra ci sembrerebbe molto più piccola e somiglierebbe ad un formaggio svizzero.
Purtroppo, almeno per ora, il nostro ipertreno non può che rimanere soltanto un bel sogno e infatti, almeno fino ad ora non abbiamo sistemi abbastanza veloci ed efficienti per scavare tunnel lunghi centinaia di kilometri in tempi brevi ed inoltre il tunnel attraverserebbe la crosta terrestre in caso di tratti brevi ed il mantello sottostante in caso di tratte molto lunghe vedi figura:
In attesa che la tecnologia faccia passi da gigante e che la conoscenza della conformazione interna della terra ci permettano di costruire i tunnel adatti al passaggio dei nostri treni gravitazionali, accontentiamoci di andare a trovare la zia nei tempi oggi consentiti.
La descrizione matematica per la soluzione del problema segue in appendice.
Vedi: “Elementi di meccanica teorica” di Semen Michajlovic Targ. Edizioni Mir Mosca.
Appendice
Questo articolo è stato pubblicato sul mio profilo LinkedIn il 09.12.2019:
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