In questo scritto, ed in quello successivo, si vuol presentare l’idea che la maggior parte degli accadimenti, gli eventi, che avvengono nel nostro universo dipendono dall’energia, in particolare da come essa è distribuita nello spazio.
Un evento, secondo la definizione filosofica, è qualcosa che accade, qualcosa che mostra mutamento e non resiste a lungo nel tempo. Secondo la definizione della fisica è ciò che avviene in un determinato punto dello spazio ed in determinato istante di tempo. Per capire la causa degli eventi è necessario ricorrere ad una delle relazioni più importanti della fisica, una relazione che lega la distribuzione di energia nello spazio alle forze. Questa relazione è:
$$ \nabla E = -F\vec{F}$$
dove
$$ \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} $$
Il simbolo ∇ si chiama “nabla” (dal greco arpa) ed è un operatore: ovvero, come si designa in matematica, un complesso ordinato di operazioni da eseguirsi su di un ente matematico. Il simbolo ∇, detto anche “grad”, è un operatore che trasforma uno scalare in un vettore. Come è noto uno scalare è una grandezza fisica che può essere rappresentata da un solo numero (ad es. energia, temperatura, tempo, massa ecc.); il vettore invece è una grandezza fisica direzionale e ha bisogno, per essere identificata, di: direzione, intensità e verso. (ad es. la forza, la velocità, l’accelerazione, la quantità di moto ecc.). Con il simbolo ∇ o “grad” si indica il “Gradiente“, definito come: la variazione che una grandezza fisica subisce lungo una data direzione dello spazio.
$$ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} $$
sono le derivate parziali, ed applicate all’energia E che compete ad un certo punto dello spazio danno:
$$ \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} = -F_{x}, \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} = -F_{y}, \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} = -F_{z}$$
Il segno meno perché la forza agisce in senso opposto al gradiente.
Niente paura per tutti questi simboli, ci vogliono solo dire: guarda, se il valore dell’energia associato ad un determinato punto dello spazio varia in una delle direzioni dello spazio stesso, se sì, allora nasce una forza in quella direzione.
La forza, come è noto, è l’ente in grado di modificare lo stato di un sistema fisico e di conseguenza creare un evento.
Un esempio:
Immaginiamo di avere una grande massa M come la nostra terra posta nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano. La massa è una sorgente di energia potenziale gravitazionale che condiziona le proprietà dello spazio attorno a sé, dall’origine all’infinito creando ciò che chiamiamo: “un campo di energia potenziale gravitazionale”. In ogni punto del campo e quindi dello spazio questa energia, che è uno scalare, assume un ben determinato valore numerico dipendente dalla distanza dall’origine e, in questo caso, inversamente proporzionale ad essa.
Ora, poniamo in un qualunque punto del campo gravitazionale una massa m
L’energia gravitazionale che compete alla massa m in quel particolare punto a distanza r dal centro della massa Mt vale:
$$ E_{P} = – \frac{GM_{T}m}{r}$$
Dove G è la costante gravitazionale.
Qui il segno meno sta ad indicare che l’energia potenziale gravitazionale è negativa per qualunque valore di r finito, e assume il valore zero soltanto all’infinito.
Applichiamo ora l’operatore gradiente all’energia potenziale della massa m
$$ \nabla ( \frac{GM_{T}m}{r} ) = – \vec{F}$$
Dato che l’energia potenziale varia solo in direzione radiale, basta fare una sola operazione di derivazione:
$$ \vec{F} = – \frac{d}{dr}E_{P} = – \frac{d}{dr} ( – \frac{GM_{T}m}{r}) = \frac{GM_{T}m}{r^2} $$
che è proprio la forza agente fra le masse Mt e m secondo la legge della gravitazione universale di Newton. Il segno meno indica che la forza è attrattiva, diretta verso l’interno, lungo un raggio opposto al vettore spostamento radiale.
L’applicazione dell’operatore gradiente non solo ha trasformato l’energia potenziale gravitazionale nella forza di gravità (trasformando una grandezza scalare in una grandezza vettoriale) ma ha anche associato al campo scalare, in cui ogni punto dello spazio ha un determinato valore dell’energia, un campo vettoriale in cui, nello stesso punto insiste anche il vettore che rappresenta la forza di gravità.
Da quanto sopra diventa pure evidente che tutti i punti del campo che si trovano alla stessa distanza dall’origine hanno tutti la stessa energia (si trovano su una superficie equipotenziale) e quindi, il gradiente applicato a ciascuno di essi vale zero. Non esistono forze tangenti alla superficie equipotenziale.
Se consideriamo che m possa trovarsi molto vicino alla superficie della terra allora si può porre, considerando che G, Mt e Rt sono costanti:
$$ \vec{g} = -\frac{GM_{T}}{R_{T}^2} \vec{r}$$
con r versore radiale unitario, e scrivere:
$$ \vec{F} = m\vec{g}$$
con g = accelerazione di gravità, ovvero una forza come prodotto di una massa per una accelerazione così come prevede la seconda legge della dinamica.
Possiamo semplificare ulteriormente il nostro esempio.
Mettiamo la massa m (qui nel campo gravitazionale della terra) ad una altezza h1 e lasciamola poi scendere sino all’altezza h2. L’energia potenziale gravitazionale della massa m ad altezza h1 vale:
$$E_{P1} = mgh_{1}$$
Mentre quella ad altezza h2 vale:
$$E_{P2} = mgh_{2}$$
Applichiamo ora il concetto di gradiente secondo la sua definizione: “Variazione per unità di lunghezza che una grandezza fisica subisce lungo una data direzione”. Si può vedere che, per effettuare l’operazione gradiente, basta dividere la differenza dei valori dell’energia che competono ai due punti del campo gravitazionale (h1, h2) per la distanza che li separa:
$$ \nabla E_{P} = – \frac{mg\vec{h_{1}}- mg\vec{h_{2}}}{h_{1}-h_{2}} = -m\vec{g}$$
E anche qui, come si vede in modo molto più semplice, l’esistenza di un gradiente nel campo gravitazionale della terra determina la nascita di una forza, la forza di gravità con cui abbiamo a che fare continuamente.
Sotto un certo punto di vista si può pensare che ovunque nello spazio dove è presente dell’energia ed esista un gradiente l’energia stessa fluisca da zone a maggior concentrazione (con valore numerico più alto) a zone a minor concentrazione (con valore numerico più basso) e, fluendo, si trasformi in una altra forma di energia.
Nel nostro esempio la forza mg mette in movimento la massa m conferendo ad essa l’energia cinetica:
$$ \frac{1}{2}mv^2$$
Questo articolo è stato pubblicato sul mio profilo LinkedIn il 22.11.2019:
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